Составить систему уравнений в правильной форме коши

Составить систему уравнений в правильной форме коши

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х) = у такого, что (x; y) ∈ 0, существует единственное значение С = С, при котором решение у = φ(x, C) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х) = y, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x) = y, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М(x; у).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х) = у существует и единственно, т. е. через точку (x; y) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Читать еще:  Как правильно сделать содержание в ворде 2010

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Форма Коши

Форма Коши— матричная форма записи системы ДУ решенных исключительно относительно первой производной координат САУ:

(2)

a11, . , a33 — постоянные коэффициенты (если система не является зависимой от параметра) — суммы и произведения постоянных времени Tj, коэффициентов усиления Kn;

Применяется в теории управления не часто.

Удобна, если для расчетов использовать классические математические пакеты: MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple, Derive.

Используется при построении аналоговых вычислительных моделей матричного типа (например, моделей на операционных усилителях).

Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат xi.

Пространство состояний

Пространство состояний (ABCD-форма)— матричная форма записи системы ДУ САУ адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САР большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме «Пространства состояний»:

(3)

un x 1 — вектор переменных состояния (фазовых координат системы);

Dk x m — матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации);

Приведение к нормальной форме Коши

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

(2)

Задание предполагает нахождение решения на интервале при следующих начальных условиях:

(3)

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

(4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

(5)

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

(6)

Система (6) есть решение уравнения (2).

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

(7)

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

(9)

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

(10)

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

(11)

где — сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

(12)

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

(13)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

(14)

Из свойств системы (14) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При значение , значение , а (15)

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

(16)

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в ходе курсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, с предварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходит согласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.

Программа состоит из следующих модулей:

1) Основная программа;

2) Процедура вычисления точного решения ДУ;

3) Процедура вычисления правых частей;

4) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

Читать еще:  Правильно составить дефектный акт

5) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

Дифференциальные уравнения в форме Коши;

Задача Коши. Задача Коши, как известно из курса математики, состоит в задании системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (разрешенных относительно первой производной) и задании для них граничных (начальных) условий в одной точке.

Использование формы Коши определяется тем, что при решении дифференциальных уравнений удобнее иметь дело не с уравнениями высокого порядка (выше первого), а с системами уравнений первого порядка.

Рассмотрим скалярный объект, поведение которого в динамике описывается дифференциальным уравнением n-го порядка

. (2.17)

Произведем в этом уравнении замену переменных следующим образом:

(2.18)

и разрешим исходное уравнение относительно старшей производной

. (2.19)

Совокупность уравнений (2.18) и (2.19) представляют нормальную форму Коши дифференциального уравнения (2.17). В общем виде полученная система представляется как

, (2.20)

где

есть матрица Фробениуса, а матрица

определяет влияние входного воздействия на состояние объекта.

Значение выходного сигнала y объекта определяется в общем случае как состоянием объекта x, так и значением входного воздействия u,так что

.

В общем случае А − функциональная матрица размером n × n, называемая матрицей состояния системы (объекта), В − функциональная матрица размером n × r, называемая матрицей управления (входа), С − функциональная матрица размером m × n, называемая матрицей выхода по состоянию, D − функциональная матрица размером m × r, называемая матрицей выхода по управлению.

Очень часто D= 0, т.е. выход непосредственно зависит от входа и тогда исходная система уравнений приобретает вид:

(2.20)

Пример 2.6. Представить дифференциальное уравнение

Решение. Вводим новые переменные:

,

откуда с учетом исходного уравнения следует

Таким образом, представление исходного уравнения в виде (2.20) приводит к формированию следующих матриц:

Пример 2.7.Преобразовать полученное дифференциальное уравнение второго порядка для механическойсистемы (рис. 2.7) в форму Коши.

Решение. Заменим наблюдаемую переменную y на переменную состояния x1:

. (2.21)

Тогда уравнение (2.8) примет следующий вид:

(2.22)

Если уравнение (2.22) разделить относительно производных и проинтегрировать по времени, получим уравнение первого порядка

.

. (2.23)

Продифференцируем последнее выражение

. (2.24)

В итоге получилось два уравнения первого порядка (2.23) и (2.24), дающие описание динамики системы. Совокупность полученной системы уравнений

(2.25)

совместно с уравнением (2.21), называемым уравнением наблюдения, составляет полное описание поведения объекта в форме Коши.

Пример 2.8. Перейти к стандартной форме Коши для рассмотренной выше электрической системы (рис. 2.1), описываемой системой уравнений:

;

.

; ,

тогда из второго уравнения получаем

.

Используя теперь полученное соотношение, запишем первое уравнение в виде

.

В результате получаем систему из двух уравнений первого порядка:

с уравнением наблюдения

.

Пример 2.9. Рассмотрим полученную выше систему дифференциальных уравнений механической системы (1.45):

,

и представим ее в матричной форме. Она должна принять вид (2.20), где – вектор состояния, размерности 2; u – в данном случае скалярное управление (в общем случае это тоже вектор); y – в данном случае, также скалярное наблюдение (в общем случае – также вектор).

Сравнивая исходную систему уравнений и конечную форму, видим, что

,

следовательно, исходная система уравнений запишется в матричной форме в виде:

Для решения этой системы уравнений не хватает начальных условий, которые, конечно же, существуют, но не обязательно известны исследователю. Будем считать, что начальные условия известны, и они заданы в одной точке:

Пример 2.10. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.21. Динамическое поведение этой системы при tt полностью определяется, если известны начальные значения i(t), Uc(t) и входное напряжение U(t). Следовательно, и можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть , . Тогда совокупность исходных уравнений:

может быть представлена в виде

Полученные дифференциальные уравнения можно записать в векторно-матричной форме:

.

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

; ; .

Матричное описание строго формализовано, и не требует понимания физической природы системы. Также структура модели в «пространстве состояний» не позволяет разобраться во внутренней природе системы. Если эта форма записи дифференциальных уравнений применена обоснованно, то модель, скорее всего, будет истинной.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

Задание предполагает нахождение решения на интервале при следующих начальных условиях:

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

Читать еще:  Правильно наносить жидкую резину

Система (6) есть решение уравнения (2).

Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

где — сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

Из свойств системы (14) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При значение , значение , а (15)

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в ходе курсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, с предварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходит согласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.

Программа состоит из следующих модулей:

1) Основная программа;

2) Процедура вычисления точного решения ДУ;

3) Процедура вычисления правых частей;

4) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

5) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

Основная программа

Блок программы осуществляет следующие операции:

· запрашивает у нерадивого пользователя величину шага интегрирования и шаг вывода на экран;

· вычисляет количество шагов;

· с заданным шагом вызывает процедуры интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков на отрезке интегрирования;

· вычисляет погрешность и оценку погрешности интегрирования;

· выводит замечательные результаты работы программы с заданным шагом вывода на экран.

Для простоты понимания укажем следующие переменные, содержащиеся в программе:

· h — шаг интегрирования. Вводится нерадивым пользователем с клавиатуры;

· n — число шагов интегрирования;

· h_screen — шаг вывода результатов на экран. Вводится нерадивым пользователем с клавиатуры;

· i_screen — счётчик вывода результатов на экран. Когда i_screen > h_screen, то происходит вывод результатов и обнуление i_screen;

· i, j — переменные, используемые циклом;

· e2, e4- ошибки интегрирования для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(1):

· e2max, e4max — оценки погрешностей интегрирования для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(2):

· t — значения независимой переменной;

· t0, tf — пределы интегрирования

· y2, y4 — вектора решения для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядка соответственно в узле tk ;

· outfile- переменная файлового типа. Определена для вывода результатов в текстовой файл;

· name — переменная строкового типа. Используется для передачи имени файла.

Текст основной программы приведён в приложении А, схема в приложении Б.

Функция вычисления точного решения

function clearsolve (t: real): real

Функция предназначена для вычисления точного решения для дифференциального уравнения по формуле (3):

Текст функции приведен в приложении 2, схема в приложение 7.

Процедура вычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши

procedure right(t: real; var x,f: vector_n);

Процедура вычисляет правые части системы однородных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши по формуле (4):

Текст процедуры приведен в приложении А, а схема в приложение Б.

Процедура RK2

procedure RK2(t: real; h: real; var x: vector_n);

Укажем формальные параметры:

t — независимая переменная ;

h — шаг интегрирования;

x — массив решений. При входе в процедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.

Процедура RK2 выполняет шаг интегрирования системы ОДУ методом Рунге-Кутты 2-ого порядка из соотношения (5):

Процедура обращается к процедуре вычисления правых частей right с различными параметрами для вычисления и (6). Затем с Божьей помощью (5) считает значение .

Текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

Процедура RK4

procedure RK4(t: real; h: real; var x_4: vector_n);

t — независимая переменная ;

h — шаг интегрирования;

x — массив решений. При входе в процедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.

Процедура RK4 выполняет шаг интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.2) методом Рунге-Кутты 4-ого порядка (7).

Процедура четыре раза обращается к процедуре вычисления правых частей right с разными параметрами для вычисления . (8). Затем с Божьей помощью (7) считает значение .

Текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector